第8章   模型思想

模型思想作为重要的数学思想方法之一，体现了数学学科的应用本质，对数学学科的发展具有重要的推动作用，是实现数学学科应用功能的基本形式和重要手段。数学模型思想的教育对培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决现实问题的能力具有十分重要的作用。早在上世纪七十年代初，英、美等国已将数学模型思想的教育作为基础教育的重要内容。本世纪初，我国基础教育数学课程改革也已将数学模型思想的教育列入数学课程标准，并在教材和教学中进行了初步实施。经过几年的探索与实践，取得了一定成效。然而，我们的调查研究表明，其实施效果却不尽人意。究其主要原因在于，我国基础教育中对数学模型思想的内涵、要求、教学策略与方法缺乏足够的认识和有效研究。鉴于此，本章拟对数学模型思想的涵义、要求和教学问题进行初步讨论，以期推动数学模型思想在基础教育阶段的有效实施。

第1节  数学模型思想的基本涵义

1  原型（Prototype）

所谓原型是指人们关心、研究或者从事（工作、学习、生产、管理等）的现实世界的实际对象。既包括有形的对象，也包括无形的、思维中的对象。在学习、生产、科技等领域里通常使用系统、过程等词汇描述原型，如学习系统、教学系统、方法系统、生命系统、生态系统、机械系统、电力系统、社会经济系统等；又如学习过程、教学过程、生产销售过程、计划决策过程、钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、人口增长过程、污染扩散过程等。这些现实对象、研究对象等均为我们所说的原型。

2  模型（Model）

所谓模型是一种结构，它是为了某个特定目的，在分析研究实际问题的结构特征基础上构造的整个原型或其部分或其某一方面的替代物，是对原型信息的简缩、提炼，是对原型的形象化或模拟与抽象，是对原型的某一（或某些）方面的简化与近似反映。其实，在现实生活中，人们总是自觉或不自觉地用各种各样的模型来描述一些事物或现象。地图、地球仪、玩具火车、建筑模型、昆虫标本、恐龙化石、照片等都可以看作模型，它们都从某一方面反映了真实对象与现象（原型）的特征或属性。模型应具有如下三个相互联系、相互制约的特性的特性：

（1） 模型应是对客观事物有关属性的模拟或抽象。 模型与原型在特性、结构或功能行为等方面具有某种相似关系。模型是由那些与研究问题有关的部分或因素构成，在认识过程中能够被当作客体原型的替代物而便于进行研究。譬如，航空模型就是飞机的一个抽象，除了机翼与机身的形状及其相对位置关系外的一切因素，包括飞机的实际大小都在抽象的过程中被忽略掉了，虽然它与原型的实际飞机已经相距甚远，但是在飞行过程中机翼的位置与形状如何影响飞机在空中平稳地滑翔仍然可以给人们以很大启迪。

（2） 模型应具有所研究对象的基本特征或要素。 一个模型应该在所关心的方面体现出真实对象的主要特征，否则就没有多少意义。如一个城市的交通图是这个城市的一个模型，它就应该包含这个城市的主要公交路线。如果这个交通图漏掉了几条主要的交通干线，那么它就不能作为这个城市交通路线模型。

（3） 模型应包括决定其原因和效果的各个要素之间的相互关系。 依据模型，人们就可以在模型内实际处理一个系统的所有要素，并观察它们的效果。模型表明这些有关部分或因素之间的关系，通过模型进行模拟实验，能够得到关于原型的一些信息。

由上述对模型特性的分析可以认为，原型和模型是一对具有密切联系的对偶体，模型来源于原型，但并不是对原型简单的模仿，由原型到模型要经过对原型的简化和加上人为的一些假设。因此，一般来说，模型不是原型原封不动的复制品，或者说模型与原型之间不是一个同构对应，而只能是某一（或某些）方面的近似反映。模型是人们为了认识和理解原型而对它所作的抽象与升华，它通过对模型的分析、研究加深对原型的理解和认识。

原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。为了不同的目的，一个原型可以有许多不同的模型。根据人们的目的，从现实对象中选一部分所关心的特征或属性来进行描述，其他方面的特征或属性将不予以考虑（对于其他的一些特征或属性，实际原型与模型甚至可以相差很远）。譬如，一般地图是大地的一种模型，它保持各地区之间的距离和位置不变；铁路线路示意图也是大地的一种模型，它只表示铁路线的联结情况，并不保持各点间的距离不变。这两种模型是人们为了不同的目的，对大地的属性所作的不同的近似描述。又譬如，放在展厅里的飞机模型，它在外形上逼真，但是不一定会飞；而参加航模比赛的模型飞机就要求具有良好的飞行性能，在外观上可不必苛求；至于在飞机设计、试制过程中用的抽象模型（即数学模型）和计算机模拟，则是要求在数量规律上真实反映飞机的飞行动态特性，毫不涉及飞机的实体。所以，模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。模型所反映的内容将因其使用的目的不同而不同。

模型有各种形式，用模型替代原型的方式来分类，模型可以分为物质模型（形象模型）和思想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。

（1）直观模型。指那些供展览用的实物模型。如玩具、教具、展览馆或科技馆的展具、照片等。此类模型通常是将原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。这类模型具有一目了然的效果。

（2）物理模型。主要指科技工作者为一定目的，根据物理学的相似原理构造的模型。它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。如波浪水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能；风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性。有些现象直接用原型研究非常困难，便可借助于这类模型，如地震模拟装置，核爆炸反应模拟设备等。在运用这类模型进行研究时应注意验证原型与模型间的相似关系，以确定模拟实验结果的可靠性。物理模型常可得到很有实用价值的结果，但也存在成本高、时间长、不灵活等缺点。

（3）思维模型。指通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验形式直接贮存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应决策的模型。它是人思维中的经验模型。 如汽车司机对方向盘的操纵以及一些技艺性较强的工种（如钳工）的操作，大体上是靠这类模型进行的。思维模型便于接受，也可以在一定条件下获得满意的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点，难以对其假设条件进行检验，并且不便于人们的相互沟通。

（4）符号模型。是指在一些约定或假设下借助于特定的符号、线条等，按一定形式组合连接起来的模型。如数学、物理、化学中的公式、表达式、地图、电路图、化学结构式等，具有简明、方便、目的性强及非量化等特点。

3  数学模型（Mathematical Model）

关于数学模型目前尚无一个公认的定义。但数学模型存在广义和狭义两种解释。

广义的解释，自从有了数学并要用数学去解决实际问题时，就一定要使用数学的语言、方法去近似地刻划这个实际问题，这就是数学模型。因此，一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式（代数方程、函数方程、微分方程、差分方程，积分方程……）以及由公式系列构成的算法系统等等,都可称之为数学模型。数、几何图形、函数、导数、积分、向量、集合、群、环、域、范畴、线性空间、拓扑空间、数学物理方程以至于广义相对论、规范场等都是非常成功的数学模型。运筹学以及统计学的大部分内容也都是关于数学模型的讨论和分析。按照这种观点，数学模型并不是新的事物，很久以来它就一起伴随在我们身边。可以说在数学的发展进程中无时无刻不留下数学模型的印记。整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。这种解释我们认为太宽泛了，以致于数学模型方法在数学中失去了特定的意义。

狭义的解释，所谓数学模型，就是为了特定目的，针对或参照某种事物系统的主要特征或主要关系，用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学结构才叫做数学模型。这里的数学结构，有两方面的具体要求：第一，这种结构是一种纯关系结构，即必须是经过数学抽象扬弃了一切与事物无本质联系的属性后的系统的结构；第二，这种结构是用数学概念和数学符号来表述的，它借助于数学符号、公式、图表等刻划客观事物的本质属性与内在规律，是系统的某种特征本质的数学表达式。

数学模型是通过抽象和简化，使用数学语言对客观事物的某些属性与内在特征的一个近似的刻画，是对现实对象的信息通过提炼、分析、归纳、升华的结果。通过数学上的演绎推理和分析求解，使得我们能够深化对所研究的实际问题的认识，是人们用以认识现实系统和解决实际问题的工具。譬如：

牛顿第二定律使用公式F = mdx ² / dt ²来描述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型，其中x(t)表示运动的物体在时刻t的位置，m为物体的质量，而F表示运动期间物体所受的外力。这一模型忽略了阻力、物体的形变、物体的形状和大小，抓住了物体受力运动的主要因素，从而大大深化了力与物体运动规律的研究；

 在考虑两个物体之间的相互作用时，对于它们之间的相互吸引这种属性，可以用数学公式F = k来表示吸引力与其它因素之间的关系，这就是物质相互吸引的数学模型；

一个线性弹簧，考查其形变x与弹力F之间的关系，可以用数学公式F = – kx来表示它们之间的规律，其中负号表示形变的方向与弹力方向相反；

描述人口N (t)随时间t自由增长过程的数学模型dN (t)/dt = rN (t)，尽管由于它忽略了性别、年龄、社会、经济和自然界的约束条件等许多与人口增长有密切关系的因素，相对于实际人口的动态来说被大大简化了。但它所揭示出的在一定时期内人口成等比级数增长的结论是人们不得不面对的严酷事实。

作为现实问题的数学模型，具有如下几个基本特性：

（1）抽象性。数学模型是为了实现某种目的，在保留现象的某些本质方面的前提下，而舍弃现象中的许多非本质方面，舍弃现实原型中的非本质属性，弱化次要因素，使本质要素形式化，从而对原型作出简化而本质性的刻划。因此，比原型具有抽象性是十分自然的，这样的抽象也显示出概括性特征，使同一个数学模型可以运用到不同的实际情景中去。这个抽象不同于数学理论中的抽象思维。它是要求人们从实际问题中抽象出其中的数学内涵。

（2）实践性。任何一个数学模型都有其实际背景，都是从特定的实际问题中抽象出来的，离开实际背景而定义的或想象出来的数学表达不可能准确地描述特定的实际问题。因此，一个好的数学模型必须具有实际背景、有明确的针对性，要接受实践的检验，并且被证明是正确的、可用的。

（3）数量性。数量性是数学模型所特有的。它体现了数学模型不同于其它各种思维模型，是一种用数学语言表达的定量化的模型。用数学语言的描述往往比其它模型更概括、更精炼、更准确，也更能抓住事物的本质。建立数学模型以后，对对象的研究可以完全转化在数学演绎的范畴进行，一般来说要比用其它方法更为有效、便捷。

（4）准确性。由于数学模型是用数学语言表述的数学结构，因此克服了自然语言含糊不清，叙述过繁、容易产生歧义等不足，实际问题中的各种关系及问题结构得到了比较精确的表述。

（5）预测性。建立数学模型的目的是为了解决实际问题，数学模型的研究结果要能够经得起实际问题的检验，与实际结果相符或近似相符（不超过人们所期望的范围），或为实际问题的解决提供可行、有效的方案与程序。具有这样预测性的数学模型才有生命力，否则，必将被舍弃或修正。数学模型不是原型的复制品，数学模型与原型之间不是一个同构对应，而是为一定的目的对原型所作的一种抽象模拟，是对原型的数量相依关系的一个反映。它用数学式子、数学符号、程序、图表等刻画客观事物的本质属性与内在联系，是对现实世界的抽象、简化而又本质的描述。它源于现实，且高于现实。它或者能解释事物的各种性态，预测它将来的性态；或者能为控制某一事物的发展提供最优化策略等等，都是为了最终达到解决实际问题之目的。

4  数学建模（Mathematical Modeling）

用数学方法解决实际问题，要求从实际错综复杂的关系中找出其内在规律，然后用数字、图表、符号和公式将它表示出来，再经过数学与计算机的处理，得出供人们进行分析、决策、预报或者控制的定量结果，这种将实际问题进行简化归结为数学问题并求解的过程就是数学建模。

广义而言，数学本身就是刻画现实世界的模型。数学的研究既不像物理学、化学、生物学那样以自然界的具体运用形态为对象，也不像经济学、社会学、政治学那样以社会的具体运动形态为对象。数学研究的是形式化、数量化的思想材料。而按照唯物主义认识论的观点，思想只能来源于现实世界，但不是原原本本复制现实世界，需要经过一定的加工、抽象，这种思想材料的获取过程，实际上就是对现实世界研究对象的建模。如原始人从“数”（shǔ）猎物中创造了“数”（shù），这就是建模；古埃及人在丈量土地时发明了三角，这也是建模；而微积分基本上可以视为是17世纪时对力学、天文学问题的数学建模。因此可以说，建模本身就是数学发展的原动力。现代数学就其研究对象而言，相当多数已经很难看出原型的痕迹，因而也不称其为“模型”。从学科发展来讲，数学既然是研究思想材料的学科，那么一旦思想的框架以公理化的形式建造起来，就可以按照自身的体系和逻辑，演绎出一个繁杂庞大的理性世界，数学工作者们不断地去了解、熟悉它，并通过自己的工作去参与构筑这个理性世界大厦，这样数学学科便不断丰富发展。这些工作当然是必要的和有意义的，但另一方面，多数人更感兴趣的问题是这个理性世界能否与某部分现实世界对应，以更好地运用它来描述解决现实世界的问题？这就需要我们重新回到实际问题中去，采用有别于经典的严格意义下的数学思维方式，针对特定问题与特定目的进行必要的简化、假设，选取适当的数学工具进行研究，这就是当今意义下的数学建模。

在实践中所能遇到的往往是数学和其他东西混杂在一起的问题。而且对于如何使用数学语言来描述所面临的实际问题也往往不是轻而易举的，其中的数学奥妙不是明摆在那里，而是暗藏在深处等着我们去发现，我们要对实际问题中看起来杂乱无章的复杂现象进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，从中抽象出恰当的数学关系，将这个实际问题化成一个数学问题，这个过程就是数学建模。与数学不同，数学模型的组建的过程不仅要进行演绎推理而且还要对复杂的现实进行归纳、总结和提炼，这是一个归纳总结与演绎推理相结合的过程。

5  数学模型思想（mathematical model idea）

所谓数学模型思想，是指首先将所研究和考察的实际问题化为数学问题，构造出相应的数学模型，然后对数学模型进行研究，使原来考察的现实问题得以解决的一种“数学化”。简单地说，就是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决现实问题的一种“数学化”。

第2节  数学模型思想的基本步骤

1  分析问题

在运用模型思想解决现实问题时，首先应对问题的背景和结构有深刻的了解，为此，必须对该问题进行全面细致的分析，挖掘问题的各种信息，分析问题所涉及的量的关系，把握问题的基本特征。

2  简化假设

现实问题常常涉及多方面的因素，因此，要想建立一个数学模型来反映一个现实问题，面面俱到、无所不包是不可能的，为便于运用数学方法顺利、有效地解决实际问题，就必须对现实问题进行理想化抽象。根据现实问题的特征和建模的目的，在分析问题基础上，用精确的语言作出假设，对问题实施必要的简化和理想化。

3  建立模型

根据对现实问题的分析和简化假设，利用适当的数学工具刻画各变量之间的关系，建立相应的数学模型（公式、表格、图形等），这是运用数学模型思想解决现实问题的关键一步。其要点是将错综复杂的现实问题简化、抽象出合理的数学结构，使现实问题中的概念和关系与数学系统中的概念和关系有效对应。

4  求解模型

求解模型是运用数学方法及计算机技术对所建立的数学模型进行求解，从而获得现实问题的数学模型的数学解。对数学模型求解，一般包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明等等，但不存在万灵的求解方法，要求建模者掌握相应的数学知识和必要的计算手段与技能。

5  分析模型

由于在建立数学模型时所作的简化假设和所附加的数据测量与计算误差，所建模型的结果未必能满足实际要求，因此，必须对所建模型及其结果进行分析。对模型求出的解进行数学上的分析。这样，就要根据问题的性质与要求对变量间的依赖关系进行分析和对解的稳定性、敏感度及误差进行分析。

6  检验模型

完成模型的建构及求解分析之后，还需要对模型的真实性，合理性和适用性进行检验。模型只有在被检验、评价、确认基本符合要求之后，才能被接受。

7  修改模型

一个数学模型被检验后如果不符合实际或与实际的偏差程度不能被接受时，则应采取措施来修改或重建数学模型，然后将修正过或新建立的数学模型再返回到现实原型进行检验，考察其是否符合客观实际，若不符合，再进行修正或重新建模，直至获得符合现实问题的数学模型。

8  应用模型

数学模型的应用价值取决于其是否具有广泛的适用性，因此应推广所建立的数学模型，扩大数学模型的应用范围，以提高其使用价值。模型应用就是将所建立的数学建模用于分析、解释已有的现象，预测未来的发展趋势，研究和解决其它现实问题。由于数学模型的建立一般是在一定的假设条件下完成的，因此，数学模型的应用也有一定的适用条件和范围，不能将模型盲目地运用于与条件、范围不相符的问题。

数学模型思想的各步骤之间有着密切的联系，是一个统一的整体，不能截然分开。然而，在实际的数学建模过程中并非都必须严格经过上述这些步骤，通常各个步骤之间的界限也并不那么明显，上述步骤往往相互交融。在建模过程中应灵活运用。下面通过一例说明数学模型思想的基本步骤。

例  在铅球的训练和比赛中，教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。影响铅球投掷远度的因素有哪些？哪些是影响铅球投掷远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？

1  问题背景与分析：用现代数学方法研究体育运动是从上世纪七十年代开始的。1973年，美国的应用数学家J.B.开勒提出了赛跑的理论，并用其理论训练中长跑运动员，取得了很好的成绩。几乎同时，美国的计算专家艾斯特运用数学、力学，并借助计算机研究了当时铁饼投掷世界冠军的投掷技术，从而提出了他自己的研究理论，据此提出了改正投掷技术的训练措施，从而使这位世界冠军在短期内将成绩提高了4米，在一次奥运会的比赛中创造了连破三次世界纪录的辉煌成绩。数学在体育训练中也在发挥着越来越明显的作用，铅球的投掷问题自然也可考虑用数学方法来探讨。

2  简化假设：为方便研究起见，我们不考虑投掷者在投掷圆内用力阶段的力学过程。只考虑铅球脱手时的初速度和投掷的角度对铅球投掷远度的影响。为此，不妨将铅球视为一个抛射体。可以做出如下三个假设。

（1） 将铅球视为一个质点；

（2） 铅球运行过程中忽略空气的阻力；

（3） 投掷角和初速度相互独立。

3  模型的建立：以铅球出手点的铅垂方向为y轴（向上为正），以y轴与地面的交点到铅球落地点方向为x轴构成平面直角坐标系，在此坐标系内考虑铅球的运动。记v为铅球出手时的速度，α为投掷角，h为铅球出手时的高度，t为铅球运动的时间（t = 0时铅球出手）。则由物理学可以得到铅球的运动方程

                      x = (v cosα) t

                          y = (v sinα) t –g t² + h，

其中g =9.8m / s²是重力加速度。消去t可得铅球运动轨迹的方程

                 y =+ (tanα)x + h                        ①

若铅球投掷的远度为s，则轨迹将于(s，0)点与x轴相交，将它代入①式，解出s可得

                S =             ②

②式描述了铅球投掷的远度s与投掷时的出手速度及投掷角度之间的关系。

4  模型求解与分析：表1列出了由我国前优秀的女子铅球运动员李梅素和前苏联运动员斯卢皮亚内克的几组实测数据。表中的远度是根据公式②算出的模型值。与实测成绩相比较，仅差20cm左右。这是因为远度s中并没有包括铅球出手的瞬间超出抵趾板内沿的距离。由此可见，用模型②来讨论v，h，α三个因素与投掷铅球成绩的关系是可行的。

 

表1  李梅素与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩

 

（1） 最佳出手角度

由模型②可以看出，铅球的出手速度v和出手高度h越大，远度s就越大。现在考虑当v，h一定时，如何选择最佳的出手角度，使远度达到最大。这是一个函数求极值的问题。求s关于α的一阶导数，令其为0并整理得出，最佳出手角度α将满足如下方程

+ v²sin2αcos2α– 2ghsin2α= 0。

将此方程有理化，并整理可得

                       cos2α=                          ③

从理论上分析③式不难得到：

由于h > 0，α> 0，故有0 <α≤45^o。特别当h = 0时（出手点与落地点在同一高度），最佳出手角度α= 45^o。

给定铅球的出手高度h，出手速度v变大，相应的最佳出手角度α也随之变大。

如果给定出手速度v，增加铅球的出手高度，相应的出手角度反而变小。

（2） 投掷铅球的最佳模式

为了教练使用方便，利用模型②式和③式可以提供一个投掷铅球的最佳模式表。

根据来自优秀女子铅球运动员的技术数据，选定出手速度（10m/s ~15m/s）和出手高度（1.90m~2.1m）。利用③式可以算出最佳出手角度α(^o)，然后利用②式求出相应的远度s(m)，列表 2如下：

 

表 2  投掷铅球的最佳模式

 

表2中每一格内左上角的数字是最佳的出手角度，右下角的数字给出了铅球相应的投掷远度。教练可以用这个表来指导训练。譬如，已知一个运动员的铅球出手高度h =2m，出手速度v =13m/s，那么从表1 – 2中就可以查出最佳的出手角度α= 42.01^o，这时远度s =19.14m；再譬如一个运动员要想成绩突破23m大关，从表1 – 2中可以查出其出手速度必须接近14.5m/s。

（3） 主要因素分析

模型②式给出了铅球投掷的远度(s)与影响它的三个因素（出手高度h、出手速度v和出手角度α）之间的关系。尽管我们使用数学的工具着重分析了有关最佳出手角度的问题。但h，v，α这三个因素中哪个是最主要的？哪个是次要的？可能是教练和运动员更关心的问题。这个问题可以通过模型对各个变量的灵敏度分析而获得解答。即逐步讨论各变量的变化对远度s的影响程度。影响大的因素在模型中称之为灵敏的，而影响小的称之为不灵敏的。由于模型的数学表达式较为复杂，直接使用数学方法分析较为困难。不妨使用数值的方法来分析。即让h，v，α三个变量在可能的范围内变化，使用计算机计算其远度的模型值，并计算每个变量变化时所引起的远度改变量的极差，通过极差值的分析比较来判断各因素对于铅球投掷远度的重要性。

表3列出了h，v，α在可能取值范围内若干取值点上远度的计算结果和各变量变化时远度的极差值。从表3所列的极差值可以看出，出手角度在其可能取值范围内所引起的远度最大改变量在0.05m~0.42m之间；而出手速度在所列的取值范围内引起的最大距离改变量要在12.47m~12.89m之间；类似地还可以算出出手高度变化时远度的极差值（表1 – 2中未列出，但可由表中数据算出）的变化范围在0.16m~0.22m之间。这些数据表明铅球的出手速度无疑是影响远度最重要的因素。平均而论，出手速度每增加1m，将导致远度提高2m的距离。这是任何其他两个因素的影响所不能相比的。因此为了提高铅球投掷的成绩，提高出手速度比提高出手高度及出手角度要有效得多。另外，比较其它两因素可以看出，出手角度导致远度的极差变化的范围要比出手高度大，这表明在投掷过程中最佳出手角度的调整对于取得稳定的成绩是重要的。但进一步分析表明，在最佳出手角度上下有2^o的误差情形之下远度的极差不会超过0.06m，这表明，对角度的要求不必过份准确，只要在最佳出手角度的一定范围内即可。而此时较高的出手高度还会使远度增加0.16m~0.22m。因此，出手高度应该是在训练过程中应当重视的第二个重要因素。

 

 

表3  影响铅球投掷因素的灵敏度分析

        α

   v   s       37      38      39      40      41      42      43      极  差

  h

       10    11.89   11.92   11.94   11.95   11.95   11.94   11.92     0.06

       11    14.01   14.05   14.09   14.11   14.12   14.12   14.10     0.11

       12    16.31   16.38   16.43   16.46   16.48   16.48   16.47     0.17

 1.9   13    18.80   18.89   18.96   19.01   19.04   19.05   19.04     0.25

       14    21.48   21.59   21.68   21.75   21.79   21.81   21.82     0.34

       15    24.36   24.49   24.60   24.68   24.74   24.78   24.78     0.42

  极  差     12.47   12.57   12.66   12.73   12.79   12.84   12.86

       10    11.98   12.01   12.03   12.04   12.04   12.02   12.00     0.06

       11    14.10   14.15   14.18   14.20   14.21   14.20   14.18     0.11

       12    16.41   16.47   16.52   16.55   16.57   16.57   16.56     0.16

 2.0   13    18.90   18.99   19.05   19.10   19.13   19.14   19.13     0.24

       14    21.59   21.70   21.78   21.85   21.89   21.91   21.91     0.32

       15    24.46   24.60   24.70   24.79   24.84   24.87   24.88     0.42

  极  差     12.48   12.59   12.67   12.75   12.80   12.85   12.88

   10    12.07   12.10   12.12   12.12   12.12   12.10   12.08     0.05

   11    14.20   14.24   14.27   14.29   14.29   14.28   14.26     0.09

   12    16.51   16.57   16.62   16.65   16.66   16.66   16.64     0.15

 2.1   13    19.01   19.09   19.15   19.20   19.22   19.23   19.22     0.22

   14    21.70   21.80   21.88   21.94   21.98   22.00   21.99     0.30

   15    24.57   24.70   24.80   24.88   24.94   24.97   24.97     0.40

  极  差     12.50   12.60   12.68   12.76   12.82   12.87   12.89

   

5  模型检验：考察我国著名铅球女运动员李梅素的两组值得注意的数据：

（1）h =1.90m，α= 37.60^o，v =13.75m/s，s =20.68m，成绩20.95m；

（2）h =2.00m，α= 39.69^o，v =13.52m/s，s =20.22m，成绩20.30m；

第二组数据中的出手高度和出手角度比第一组都有所提高。然而第二组的远度却降低了。教练和运动员都有这样的经验：运动员投掷铅球的出手角度提高了，即使更接近于最佳出手角度，而成绩非但没有提高，反而降低了。原因主要是随着出手角度的提高，出手速度降低了。这个事实告诉我们，出手角度与出手速度并不是相互独立的。它是运动员在投掷过程中用力过程的一个综合结果。因此，建立模型②式的前提假设（3）是不恰当的。仔细分析模型②式就会发现它只是描述了一个抛射体的运动规律，并没有牵涉到投掷铅球的机制，因此必须对模型进行改进。

6  模型修改：铅球的投掷过程大致可分成滑步阶段和用力阶段。关于铅球的投掷过程我们假设：

（4）滑步阶段为水平运动，铅球随人的身体产生一个水平的初速度v₀。

（5）在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间，记为(0，t₀)。

（6）在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球上的推力F大小不变，其方向与铅球的出手角度α相同。

用这三个假设代替建立模型②式时所作的假设（3）来进一步组建铅球的投掷模型。

模型②式很好地描述了铅球出手以后的运动状况，因此，下面的改进模型主要在于建模描述铅球出手速度的形成过程以得到出手速度与出手角度之间的依赖关系。

若记x(t)，y(t)为开始用力后铅球运动轨迹的水平和铅垂方向的坐标。则根据牛顿第二运动定律，由假设（6）有

                                                  ④

④式中m为铅球的质量，F是对铅球的推力，α为力的方向即铅球的出手角度。

根据假设（5），令t = 0时运动员开始用力推铅球，t = t₀时铅球出手，即t₀是推铅球时力的作用时间。在区间(0，t₀)上积分④式可得

                    (t₀) =t₀cosα+ C₁

                    (t₀) =t₀sinα- gt₀ + C₂

其中C₁，C₂分别是t = 0时铅球的水平与垂直的初速度，即C₁ =(0)，C₂ =(0)。由假设（4），有C₁ = v₀，C₂ = 0，于是有

                                                ⑤

由⑤式可以得到铅球的合速度，即铅球的出手速度

         v =                                                     

          =                  ⑥

将⑥式与②式合并就得到了铅球投掷远度模型。

7  改进模型的分析：分析出手速度模型⑥式，不难看出v随着F和t₀的增加而增大，显然v也随着v₀的增大而增大。这与常识一致。由于0 <α<π/2，由⑥式还可以看出v将随着α的增加而减小。即当推力F和作用时间t₀不变时，运动员要提高铅球的出手角度α，就必须以降低出手速度为代价。因此对于铅球投掷来说，模型②式所给出的“最佳出手角度”不一定是最佳的。

进一步分析铅球投掷的改进模型⑥式可以得到铅球投掷存在一个最佳出手角度，它要小于模型②式所给出的最佳角度。对模型⑥式还可以给出类似于模型②式的全部分析（此处从略）。

8  对改进模型的检验：表4列出了我国女子铅球两位优秀运动员不同阶段的几组数据。出手角度从40.27^o降到35.13^o，出手速度从13.16m/s提高到14.08m/s，而投掷铅球的成绩则从19.40m提高到21.76m，这也进一步验证了模型⑥式的可靠性。

表 4  优秀运动员的铅球投掷数据

9  模型解释与应用：中国女子铅球教练在总结女子铅球技术时曾经这样描述：滑步的低、平、快；过渡阶段随着左腿低而快地直顶抵趾板下沿，推髋侧移，使铅球低而远地远离出手点；最后用力阶段突出向前性。比较前面有关模型的分析，我们发现了这些实践经验的科学依据。科学的训练有助于运动员发挥自己的特长，取得优异的成绩。

第3节  数学模型思想的基本要求

树立学生的数学应用意识不仅对学生树立正确的数学价值观具有重要作用，而且是培养学生数学应用能力的基础，因此，我国义务教育数学课程标准（实验稿）中非常强调培养学生的数学应用意识。数学应用意识主要表现在：认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，认识到数学在现实世界中有着广泛的应用；面对现实问题时，能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动寻求实际背景，并探索其应用价值。而把握数学模型思想则是树立数学应用意识的重要手段和途径。为此，课程标准指出，“…强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。例如，彩带每米售价4元，购买2米、3米、4米、5米、6米、7米彩带分别需要多少钱？ 将彩带长度和价钱所对应的点描在坐标纸上，再顺次连接起来，并要求学生回答下列问题：a.所描的点是否在一条直线上？b.估计一下买1.5米的彩带大约要花多少元？c.小刚买的彩带长度是小红的3倍，他所花的钱是小红的几倍？这一问题就比较充分地体现了将现实问题抽象成比例关系模型并进行解释和应用的过程。课程标准还将“实践与综合应用”作为四个重要的内容领域之一，旨在帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与学生生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性等问题，以发展他们解决问题的能力。例如：试设计合适的包装方式。（1）现有4盒磁带，有几种包装方式？哪种方式更省包装纸？（重叠处忽略不计）（2）若有8盒磁带，哪种方式更省包装纸？（重叠处忽略不计）。这一问题是现实生活中常见的问题，通过解决这类问题可以培养学生综合运用所学相关数学知识解决现实问题的能力。课程标准强调在“数与代数”、“空间与图形”和“统计与概率”等内容领域的学习中渗透数学模型思想。比如，在“数与代数”内容的学习中，要求“探索给定事物中隐含的规律或变化趋势”，“能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻划现实世界的一个有效的数学模型”，这里的“规律或变化趋势”、“方程”即是我们所说的 “数学模型”。例如，“完成序列，并说明理由。0.5，1.5，4.5，_______。”；再比如，在“空间与图形”内容领域地学习中，要求学生“结合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法”，这里的“计算方法”即是我们所说的 “数学模型”；再比如，在“统计与概率”内容的学习中，要求“根据具体的问题，能选择适当的统计量表示数据的不同特征”。例如，“选择适当的统计量来表示我们班同学最喜爱的颜色”就是选择和应用合适的数学模型（统计模型）来描述现实问题的很好例子。

数学模型思想在全日制义务教育阶段的总体要求是“渗透”。要求将数学模型思想寓于具体的概念、法则、现实问题解决以及一般数学问题的学习和探索过程中，使学生在对数学规律与方法的探索、归纳和提炼过程中，领会数学模型的涵义，认识数学模型的作用，感受数学模型思想，体会数学的应用价值，树立数学应用的意识，初步获得发现问题、提出问题、解决简单现实问题的能力。

在义务教育阶段数学课程中对数学模型应该持广义的理解，即一切数学概念、算法、规则、问题中蕴含的规律等均可视为数学模型，持这种理解更有助于在教与学的过程中使学生体会数学模型的思想，形成运用数学模型思想思考问题的意识。

第四节 数学模型思想的教学建议

由于小学生所掌握数学知识与手段的限制，不可能进行狭义的、原汁原味的数学建模教学，因此，小学数学教学应始终贯彻渗透数学模型思想的策略，应将数学建模教学有机融入小学数学内容教学之中。《数学课程标准》倡导以“问题情境-----建立模型-----解释、应用与拓展（反思）”作为小学数学课程的一种基本表述模式，并已在教材中体现出按这一模式编写内容。

数学是模式的科学，学数学就是学习模型化的过程。数学家布克说过：“模型化是数学中的一个基本概念，它处于所有数学应用之心脏，也处于某些最抽象的纯数学的核心之中”。所谓“模型化”就是将原本复杂的、具有现实背景的或多样化表现形式的问题本质化、简洁化、一般化，并最终以数学符号、语言、关系式等形式表达出来。小学数学中的所有内容都是现实世界中数与形及其关系抽象的产物，都是反映一些事物共性的数学模型。在小学数学课程中，“模型”主要表现为概念、法则、公式、性质、数量关系等。

在小学数学教学中，有意识地引导学生建立数学模型化的意识，培养学生构建“数学模型”的能力，是提高学生数学素质的一条重要途径。传统数学教学其实并没有也不可能回避 “数学模型”，而只是过分强调了教师在建立模型中的作用，学生所关注的是如何理解、记忆和应用模型。新课程强调由学生在问题情境中主动探索、构建数学模型。在教材发生重大变革的今天，教师应当认识到，引导学生构建数学模型的过程既是“数学化”的过程，又是思维训练的过程，是提升学生发现数学、“创造”数学、运用数学的能力和素养的有效途径。小学数学教学中应实施“模型化”的数学教学模式，在“模型化”教学实施过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、猜测、尝试、解释、合作与交流等数学活动来实现，学生在其中要经历复杂的数学思维过程，在此过程中，学生不仅可以获得建构数学模型、解决实际问题的思想、程序与方法，同时，学生在将思维过程用语言、符号外化为“模型”的过程中发展思维能力和数学意识。

在小学数学教学中渗透数学模型思想，应注重从数学概念类模型的建立、数学规则类模型的建立、数学应用题教学中渗透模型化方法等方面事实。

1  数学概念类模型的建立

数学概念是数学知识的基石，主要表现为数学语言中的名词、术语、符号等的准确含义。由于数学概念了反映客观现实中数学关系的本质属性，因而，每一个数学概念都是数学模型，并且每个概念都是建立其他数学模型的材料。因此，概念类模型的建立是渗透数学模型思想、实施“模型化”数学教学模式的基本形式和基础。由于小学生以形象思维为主，知识的形成大多以实物图、形象图作蓝本，因此，小学阶段构建概念类数学模型应当从具体到抽象，抓住某事物（ 研究对象）的一个（类）本质属性，舍弃其它属性，从而获得较原事物更为一般的概念模型。数学概念类模型建立的教学一般包括如下几个环节：

（1）感知具体对象。教师引导学生关注具有典型意义的日常生活中的数学现象或已有知识中的数学活动经验与数学事实，使学生对这些具体对象进行充分的感知活动（观察、操作、体验等）。例如，教学“乘法”概念，教师在引导学生观察2+2、3+3、1+3+6等算式后，组织学生进行“算一算”“分分类”等活动。

（2）尝试建立表象。学生已对学习对象建立整体的初步认识，对其基本属性形成大致的“映像”，但其认识中往往包含非本质的属性。因此，教师可以以“请你也写几个这样的算式”“说说这些算式有哪些共同点，哪些算式不具有这样的共同点？”等问题引导学生思考，以建立关于概念的表象。

（3）抽象本质属性。教师要引导学生通过比较、分析、综合、归纳等思维活动，复合表象，将本质属性抽取出来，构成同类对象本质的关键特征。教师可让学生“同学间交流这些算式的规律”、“想一想，再说一说，这些算式可以由哪几个因素决定”，以帮助学生思考，从而将“乘法“概念的本质属性抽取出来。

（4）语言、符号表征。对学习对象属性的关键特征尝试用语言或符号进行概括与表征，从而获得概念。比如，教师可引导学生将“相同加数的连加式”用“相同加数×相同加数的个数”的方式简便地表示，建立起“乘法”概念模型。

（5）概念内化。教师要帮助学生深入理解概念的内涵与外延，在运用与推广概念的过程中修正对概念的理解。比如，在建立起“乘法”概念模型后，教师可以继续让学生思考和回答下列问题：“在乘法的定义中，你认为哪几个词最重要？”、“乘法与加法有什么联系与区别？”、“下列算式中哪些可以用乘法表示？为什么？12+12+12，2+2+2+1，……”。

2  规则类模型的建立

数学规则是运算、推理与论证的依据，其主要表现为法则、定理、公式、性质等。根据小学生的思维发展水平，规则的提炼过程应以合情推理为主。构建规则类模型的方式通常包括如下几个环节：

（1）提供事例。规则类模型的建立中，首先要为学生提供学生所熟悉的有利于发现规则的具体例证。例证的选择和呈现方式会影响学生的学习态度、思维深度和规则发现的难易度。例如，在“20以内进位加法”算法中的“凑十法”这一规则类模型的建立过程中，教师可以作如下引导：（出示图：盒子有10个格子，放了9个球，盒外有3个球）“说说这附图告诉我们什么？”、“你知道一共有几个球吗？怎么知道的？”、“写出算式”。

（2）探索例证。由于规则是以非演绎的方式获得的，为了支持学生的思维活动，教师应组织学生对具体例证进行探索与交流。比如，“你有什么好办法让别人知道一共有几个球？说说你的操作过程。”“如果盒内有8个球，又可以怎么放？”（出示图）“你发现了什么？”。

（3）发现规则。学生经过观察、探索、运演，由直观到抽象，由个别到一般等逐步发现事物间的关系或规律，经归纳、猜测、验证，用简练、准确的数学语言（含符号表示）表达出来，形成规则（模型）。应结合对例证的探索，逐级抽象概括。考虑到儿童的抽象概括能力较弱，通常用多级抽象方式，从例证中抽象规则。教师可这样帮助学生：“将刚才操作球的过程用算式表示出来。”（教师引导学生边说球的操作过程，边建立反映思考过程的直观的算式模型）“说说算式中的1和2是指哪几个球，3个球为什么要分为1个和2个？10表示什么？12呢？”，、“不说球，根据算式直接说说你是怎么加的”、“要算8+5，又可以怎么说。”、“用自己的话说说，一位数加一位数进位加可以怎么算？”（教师引导抽象成“看大数，拆小数，先凑十，再加几。”）从而完成从物理模型到直观的数学模型再到抽象的数学模型的建构过程。

3  在解决应用题中渗透数学模型方法

小学数学中的每一个应用题其实都是客观原型，而解题列式则可以看作是抽象成一个数学模型的过程，只是有些应用题所属类型已经抽象成数学模型，解题的过程就是将已知数量关系纳入数学模型，进而求解数学模型的过程，这一类应用题称为典型应用题。典型应用题具有固定的数学关系和解法。例如，归总问题、倍比问题、求平均数问题、行程问题（相遇问题、追击问题）、工程问题等均属典型应用题。例如，“从甲地到乙地的铁路长596千米，一列快车从甲地开出，同时一列慢车从乙地开出，两车相向而行，快车平均每小时行100千米，慢车每小时行49千米，问经过几小时两车相遇？”就是一个典型的行程（相遇）问题，具有固定的数学模型（数量关系）：总路程=速度和×相遇时间，。在讲解这些典型应用题时，应着重引导学生分析题目中主要的数量关系，看其属于哪类典型问题的数学模型，然后用已知的数学模型加以解决。在典型应用题教学中，渗透模型化方法，可使学生更清楚地掌握客观原型和数学模型中的数量关系的对应性，防止学生在没有理解的基础上死套公式的机械学习方法，同时有助于学生从模型的角度认识问题，树立模型意识。

有些应用题没有现成的数学模型可以套用，必须深入分析数量关系，重新建立数学模型或者综合应用某些数学模型的变式来解决问题。这些应用题可称为综合应用题。这类问题通常需要将几个数学模型结合起来形成一个新的数学模型，或是将某些已知的数学模型加以变形、修正，才能充当解决该应用题的特定数学模型。例如，“甲、乙、丙三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一个骑车人，三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，已知甲车每小时行24千米，乙车每小时行20千米，问丙车每小时行多少千米？”就是一个比较复杂的追击问题，其数量关系较为复杂。解决这一问题并非有某一现成的数学模型可以直接解决，需要综合运用“速度=路程÷时间”、“路程=速度×时间”、“追击路程=速度差×追击时间”这三个模型才能解决，其中，第二个模型是第一个模型的变形，而第三个模型则可以看作是对第二个模型的修正，因为：追击路程=追者路程-被追者路程=追者速度×时间-被追者速度×时间=（追者速度-被追者速度）×时间=速度差×追击时间。在解决综合应用题时应着重引导学生分析题目的主要数学关系与哪几个已知数学模型所反映的数量关系类似，不同点在哪里；如何综合应用或修正它们，使之成为解答该应用题的新的或综合性的数学模型。如此，可以使学生了解建立模型的方法，能够有效地渗透数学模型思想。

由于数学模型是在舍弃了研究对象的非本质属性基础上提炼抽象出来的，往往具有较强的统摄性和广泛的适用性。因此，往往能够运用于表面上看起来不同的很多问题。如果在解决数学应用问题的过程中，灵活活运用“ 数学模型”，不但有助于问题的解决，而且有助于使学生深刻领会所学知识。

此外，在小学数学解题中应注意通过构造“模型”解决问题。比如，在解决数学应用问题时，恰当地运用“示意图”这种数学模型，往往有助于对问题结构的分析，从而有利于问题的解决。事实上，由于“示意图”抽取了现实问题中的数量，并用简单图形表达了这些数量之间的关系，从而为解答现实问题建造 了一座“桥”，这座桥是小学生进行数学思维所赖以进行的“思维之 桥”，它将内蕴于数学应用问题中的复杂数量关系的最本质特征以直观形象的形式清晰地凸现出来，符合小学生习惯于形象思维的心理特点。示意图有很多种，小学阶段通常采用模拟图、直观图、点子图、线段图、矩形图、集合（ 韦恩）图等，其中，线段图应用频率最高。

在小学数学教学中，应该从低年级起就给学生创造各种机会，运用实物材料和图画展示等手段引导学生关注事件、形体、图样和数据中的规律性，使其感觉到模式是处处存在的，使其有意识地关注模式、识别模式、寻找模式并运用计量、图形、关系等数学语言和符号表示它们，使其理解数学是如何应用到他们生活世界中的，体会到建立模型、研究模型、应用模型是数学的本质。教师应从数学知识的现实原型出发，引导学生通过观察、分析、概括、抽象，获得数学概念、公式、定理、法则等模型。教师在引导学生探索发现数学模型时应注意以下几点:第一，教师为主导,学生为主体。既要防止“满堂灌”,一古脑儿地将发现过程讲给学生听;也要防止“放羊式”,一味地使学生无目的地胡猜乱试。教师应及时引导、点拨,启发学生认真思考、仔细观察、寻找规律,要及时纠正学生可能出现或已经出现的关键性错误与认识；第二，教师要循循善诱,帮助学生尽可能快地找到本质规律,培养学生用数字和符号表述规律的能力。为此，要引导学生进行仔细地观察、实验与归纳；第三，教师要引导学生将已建立的数学模型推广至一般情况,并回到实践中检验,提高运用该数学模型解决同类实际问题的能力。可适当列举一些不属于该数学模型所表述的现实问题的反例,以避免学生滥用模型和滥套公式。

 

参考文献

1  中华人民共和国教育部. 全日制义务教育数学课程标准，北京：北京师范大学出版社，2001.

2  教育部基础教育司. 全日制义务教育数学课程标准解读，北京：北京师范大学出版社，2002.

3  姜启源.数学模型，北京：高等教育出版社，2001.

4  陈正顺.小学“数学模型”的构建与应用.宁夏教育，2005年第10期.

5  李建新，田娟.模型化方法与小学数学教学.山东教育，1999年第19期.

6  魏彬.数学模型方法与小学数学教学.湖北教育，2000年第18期.

 

      

 

 

    (李明振  南京师范大学数学博士后流动站  210097)